1 б 2 а: А-1 Б-2 В-3 Г-4 помогите

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Вычисление определителя матрицы 2 × 2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, поскольку оно имеет множество приложений, таких как вычисление площади, объема и других величин.Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы , чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются в виде матрицы. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы , и определителя. В наших целях мы ориентируемся на определитель как на показатель обратимости матрицы.Для вычисления определителя матрицы необходимо следовать определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

Общее примечание: Найдите определитель матрицы 2 × 2

Определитель матрицы [latex] 2 \ text {} \ times \ text {} 2 [/ latex], учитывая

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {cc} a & b \\ c & d \ end {array} \ right] [/ latex]

определяется как

Рисунок 1

Обратите внимание на изменение обозначений. Есть несколько способов указать определитель, включая [latex] \ mathrm {det} \ left (A \ right) [/ latex] и замену скобок в матрице прямыми линиями, [latex] | A | [/ latex] .

Пример 1: Нахождение определителя матрицы 2 × 2

Найдите определитель заданной матрицы.

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {cc} 5 & 2 \\ -6 & 3 \ end {array} \ right] [/ latex]

Решение

[латекс] \ begin {array} {l} \ mathrm {det} \ left (A \ right) = | \ begin {array} {cc} 5 & 2 \\ -6 & 3 \ end {array} | \ hfill \ \ = 5 \ left (3 \ right) — \ left (-6 \ right) \ left (2 \ right) \ hfill \\ = 27 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители.Этот метод, известный как правило Крамера , восходит к середине 18 века и назван в честь своего новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704–1752), который представил его в 1750 году во Введении к анализу линий Курб. algébriques. Правило Крамера — это жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, что и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если оно существует.Однако, если система не имеет решения или бесконечное количество решений, это будет обозначено нулевым определителем. Чтобы выяснить, является ли система непоследовательной или зависимой, необходимо использовать другой метод, например исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно рассмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений с использованием основных операций со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {array} {c} {a} _ {1} x + {b} _ {1} y = {c} _ {1} \ left (1 \ right) \\ {a} _ { 2} x + {b} _ {2} y = {c} _ {2} \ left (2 \ right) \ end {array} [/ latex]

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решаем для другой.Скажите, что мы хотим решить для [latex] x [/ latex]. Если уравнение (2) умножается на коэффициент, противоположный коэффициенту [латекс] y [/ латекс] в уравнении (1), уравнение (1) умножается на коэффициент [латекс] y [/ латекс] в уравнении (2) ), и мы добавляем два уравнения, переменная [latex] y [/ latex] будет удалена.

[латекс] \ begin {array} \ text {} b_ {2} a_ {1} x + b_ {2} b_ {1} y = b_ {2} c_ {1} \ hfill & \ text {Multiply} R_ { 1} \ text {by} b_ {2} \\ — b_ {1} a_ {2} x − b_ {1} b_ {2} y = −b_ {1} c_ {2} \ hfill & \ text {Умножить} R_ {2} \ text {by} −b_ {2} \\ \ text {______________________} \\ b_ {2} a_ {1} x − b_ {1} a_ {2} x = −b_ {2} c_ { 1} −b_ {1} c_ {2} \ end {array} [/ latex]

Теперь решите для [латекс] x [/ латекс].

[латекс] \ begin {array} {l} {b} _ {2} {a} _ {1} x- {b} _ {1} {a} _ {2} x = {b} _ {2 } {c} _ {1} — {b} _ {1} {c} _ {2} \ hfill \\ x \ left ({b} _ {2} {a} _ {1} — {b} _ {1} {a} _ {2} \ right) = {b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ {1} {c} _ {2} \ hfill \\ \ text { } x = \ frac {{b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ {1} {c} _ {2}} {{b} _ {2} {a} _ {1 } — {b} _ {1} {a} _ {2}} = \ frac {\ left [\ begin {array} {cc} {c} _ {1} & {b} _ {1} \\ { c} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} \ right]} {\ left [\ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} \ right]} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Аналогичным образом, чтобы найти [latex] y [/ latex], мы исключим [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {array} \ text {} a_ {2} a_ {1} x + a_ {2} b_ {1} y = a_ {2} c_ {1} \ hfill & \ text {Multiply} R_ { 1} \ text {by} a_ {2} \\ — a_ {1} a_ {2} x − a_ {1} b_ {2} y = −a_ {1} c_ {2} \ hfill & \ text {Умножить} R_ {2} \ text {by} −a_ {1} \\ \ text {______________________} \\ a_ {2} b_ {1} y − a_ {1} b_ {2} y = a_ {2} c_ {1 } −a_ {1} c_ {2} \ end {array} [/ latex]

Решение для [latex] y [/ latex] дает

[латекс] \ begin {array} {l} {a} _ {2} {b} _ {1} y- {a} _ {1} {b} _ {2} y = {a} _ {2 } {c} _ {1} — {a} _ {1} {c} _ {2} \ hfill \\ y \ left ({a} _ {2} {b} _ {1} — {a} _ {1} {b} _ {2} \ right) = {a} _ {2} {c} _ {1} — {a} _ {1} {c} _ {2} \ hfill \\ \ text { } y = \ frac {{a} _ {2} {c} _ {1} — {a} _ {1} {c} _ {2}} {{a} _ {2} {b} _ {1 } — {a} _ {1} {b} _ {2}} = \ frac {{a} _ {1} {c} _ {2} — {a} _ {2} {c} _ {1} } {{a} _ {1} {b} _ {2} — {a} _ {2} {b} _ {1}} = \ frac {| \ begin {array} {cc} {a} _ { 1} & {c} _ {1} \\ {a} _ {2} & {c} _ {2} \ end {array} |} {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1 } & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Обратите внимание, что знаменатель для [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для решения для [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex], но правило Крамера также вводит новые обозначения:

Ключом к правилу Крамера является замена интересующего столбца переменных столбцом констант и вычисление детерминантов. Затем мы можем выразить [латекс] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] как частное двух определителей.

Общее примечание: правило Крамера для систем 2 × 2

Правило Крамера — это метод, который использует детерминанты для решения систем уравнений, которые имеют такое же количество уравнений, что и переменные.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {array} {c} {a} _ {1} x + {b} _ {1} y = {c} _ {1} \\ {a} _ {2} x + {b} _ {2} y = {c} _ {2} \ end {array} [/ latex]

Решение, использующее правило Крамера, дается как

[латекс] x = \ frac {{D} _ {x}} {D} = \ frac {| \ begin {array} {cc} {c} _ {1} & {b} _ {1} \\ {c} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |} {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ { a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |}, D \ ne 0; \ text {} \ text {} y = \ frac {{D} _ {y}} {D } = \ frac {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {c} _ {1} \\ {a} _ {2} & {c} _ {2} \ end {array } |} {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |}, D \ ne 0 [/ латекс].

Если мы решаем для [latex] x [/ latex], столбец [latex] x [/ latex] заменяется столбцом констант. Если мы решаем для [latex] y [/ latex], столбец [latex] y [/ latex] заменяется постоянным столбцом.

Пример 2: Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2

Решите следующую систему [latex] 2 \ text {} \ times \ text {} 2 [/ latex], используя правило Крамера.

[латекс] \ begin {array} {c} 12x + 3y = 15 \\ \ text {} 2x — 3y = 13 \ end {array} [/ latex]

Решение

Решите для [латекс] x [/ латекс].

[латекс] x = \ frac {{D} _ {x}} {D} = \ frac {| \ begin {array} {rr} \ hfill 15 & \ hfill 3 \\ \ hfill 13 & \ hfill -3 \ end {array} |} {| \ begin {array} {rr} \ hfill 12 & \ hfill 3 \\ \ hfill 2 & \ hfill -3 \ end {array} |} = \ frac {-45 — 39} {- 36 — 6} = \ frac {-84} {- 42} = 2 [/ latex]

Найдите [латекс] y [/ latex].

[латекс] y = \ frac {{D} _ {y}} {D} = \ frac {| \ begin {array} {rr} \ hfill 12 & \ hfill 15 \\ \ hfill 2 & \ hfill 13 \ end { array} |} {| \ begin {array} {rr} \ hfill 12 & \ hfill 3 \\ \ hfill 2 & \ hfill -3 \ end {array} |} = \ frac {156 — 30} {- 36 — 6} = — \ frac {126} {42} = — 3 [/ латекс]

Решение [латекс] \ left (2, -3 \ right) [/ latex].

Попробуй 1

Используйте правило Крамера для решения системы уравнений 2 × 2.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x + 2y = -11 \ hfill \\ -2x + y = -13 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Алгебраические выражения и формулы

Основные алгебраические выражения и формулы:

aa = a ² (1)

aaa = a ³ (2)

ab = ab (3)

a ² b ² = (ab) ² (4)

a ² a ³ = a ^{2 + 3} = a ⁵ (5)

a ⁴ / a ³ = a ^{(4 — 3)} = a (6)

a ⁰ = 1 (7)

(a + b) ² = a ² + 2 ab + b ² (8)

(a — b) ² = a ² — 2ab + b 9001 8 2 (9)

(a + b) ³ = a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³ (10)

(a — b ) ³ = a ³ — 3a ² b + 3 ab ² — b ³ (11)

a ² — b ² = (a — b) (a + b) (12)

a ³ — b ³ = (a — b) ³ + 3 ab (a — b) (13)

a ³ + b ³ = (a + b) ³ — 3 ab (a + b) (14)

ab = ((a + b) / 2) ² — ((a — b) / 2) ² (15)

a ³ / b ³ = (a / b) ³ (16) 900 05

1 / a ³ = (1 / a) ³ = a ^-3 (17)

(a ² ) ³ = a ^{2 3} = (a ³ ) ² = a ⁶ (18)

a ³ + b ³ = (a + b) (a ² — ab + b ² ) (19)

a ³ — b ³ = (a — b) (a ² + ab + b ² ) (20)

(a + b) ³ = a ³ + 3 a ² b + 3 ab ² + b ³ (21)

(a — b) ³ = a ³ — 3 a ² b + 3 ab ² — б ³ (22)

а ^1/2 а ^1/2 = а (23)

a ^1/3 a ^1/3 a ^1/3 = a (24)

(a ^1/3 ) ³ = a (25)

( ² ) ^1/3 = ( ^1/3 ) ² = ^2∕3 (26)

( ^1/3 ) ^1/4 = ^{1/3 1/4} = ( ^1/4 ) ^1/3 (27)

(ab) ^1/3 = ^1/3 b ^1/3 (28)

(a / b) ^1/3 = a ^1/3 / b ^1/3 (29)

(1 / a) ^1/3 = 1 / a ^1/3 = a ^-1/3 (30)

A1Z26 Шифр ​​- буква Nu mber A = 1 B = 2 C = 3

Преобразователь чисел в буквы A1Z26

Буква к номеру A1Z26 Кодировщик

Вычислить значение слова

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое шифр A1Z26? (Определение)

Буквенно-цифровой шифр (или буквенно-цифровой шифр или нумерованный алфавит) состоит в замене каждой буквы ее позицией в алфавите , например, A = 1, B = 2, Z = 26, следовательно, ее на имя A1Z26 .

Как зашифровать с использованием шифра Letter-to-Number / A1Z26?

A1Z26 шифрование требует подсчета позиций / рангов букв в алфавите. Если это латинский алфавит из 26 знаков, вот буква таблицы соответствия ↔ число / значение:

Заменить каждую букву ее позицией в алфавите (A = 1, B = 2,… Z = 26)

Пример: DCODE зашифрован 4-3-15-4-5 путем буквенно-цифровой замены

Часто пробел также кодируется числом 0

Как расшифровать буквенный шифр?

Для расшифровки необходимо взять каждое число и заменить его буквой из той же позиции в алфавите : 1 = A, 2 = B,… 26 = Z

Пример: 1.12.16.8.1.2.5.20 дает АЛФАВИТ

Как распознать буквенно-цифровой зашифрованный текст?

Зашифрованное сообщение состоит из чисел от 1 до 26, иногда число 0 используется для кодирования пробела.

Цифра 5 для E должна регулярно появляться для английского текста.

Это шифрование иногда называют буквенно-цифровым кодом .

Какие варианты буквенно-цифрового шифра?

Сдвиг цифр: алфавит может начинаться с A = 0 или A = 1, но также с A = 65 или A = 97 (код ASCII).

Использование дополнительного символа для пробела (обычно 0 или 27)

Использование ведущих нулей для объединения чисел AB = 0102 , иначе AB = 12 и 12 = L .

Использование произвольного алфавита или перевернутого алфавита (A = 26, Z = 1)

Использование модуля 26 для получения 1 = A, 2 = B,… 26 = Z, затем 27 = A, 28 = B и т. Д.

Исходный код

dCode сохраняет право собственности на исходный код «Буквенно-цифровой код (A1Z26) A = 1, B = 2, C = 3».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной Creative Commons / бесплатно), алгоритма «Буквенно-цифровой код (A1Z26) A = 1, B = 2, C = 3», апплета или фрагмента (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или функции «Буквенно-цифровой код (A1Z26) A = 1, B = 2, C = 3» (вычисление, преобразование, решение, дешифрование / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, translate), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.), и все загрузки данных, доступ к скриптам или API для «Буквенно-цифровой код (A1Z26) A = 1, B = 2, C = 3 «не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, планшетах, iPhone или Android!
Копирование и вставка страницы «Буквенно-цифровой код (A1Z26) A = 1, B = 2, C = 3» или любого из ее результатов разрешается, если вы цитируете онлайн-источник https: // www.dcode.fr/letter-number-cipher
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

A Square Plus B Square Plus C Формула квадрата — Примеры

Формула a ² + b ² + c ² используется для нахождения суммы квадратов трех чисел без фактического вычисления квадратов.2 Формула?

Мы только что прочитали, что, умножив (a + b + c) на себя, мы можем легко получить формулу a ² + b ² + c ² . Давайте посмотрим на расширение формулы ² + b ² + c ² .
(a + b + c) ² = (a + b + c) (a + b + c)
(a + b + c) ² = a ² + ab + ac + ab + b ² + bc + ca + bc + c ²
(a + b + c) ² = a ² + b ² + c ² + 2ab + 2bc + 2ca
(a + b + c) ² = a ² + b ² + c ² + 2ab + 2bc + 2ca

При вычитании 2ab + 2bc + 2ca из обеих частей приведенной выше формулы формула a ² + b ² + c ² будет:

a ² + b ² + c ² = (a + b + c) ² — 2 (ab + bc + ca)

(или)

a ² + b ² + c ² = (a + b + c) ² — 2ab — 2bc — 2ca

a ² + b ² + c ² = (a + b + c) ² — 2 (ab + bc + ca)

Мы также можем выразить формулу ² + b ² + c ² как,

a ² + b ² + c ² = (a — b — c) ² + 2ab + 2ac — 2bc

Давайте посмотрим, как использовать формулу a ² + b ² + c ² в следующем разделе.

Хотите найти сложные математические решения за секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов. С Cuemath находите решения простым и легким способом.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Примеры на формуле a2 + b2 + c2

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять формулу a ² + b ² + c ² .

Пример 1: Найдите значение a ² + b ² + c ² , если a + b + c = 10 и ab + bc + ca = -2.

Решение:

Найти: a ² + b ² + c ²
При этом:
а + б + с = 10
ab + bc + ca = -2
Используя формулу a ² + b ² + c ² ,
a ² + b ² + c ² = (a + b + c) ² — 2 (ab + bc + ca)
a ² + b ² + c ² = (10) ² — 2 (-2) = 100 + 4 = 104

Ответ: a ² + b ² + c ² = 104.

Пример 2: Найдите значение a ² + b ² + c ² , если a + b + c = -3, 1 / a + 1 / b + 1 / c = -2 и abc = 3.

Решение:

Найти: a ² + b ² + c ²
При этом:
а + Ь + с = -3 … (1)
1 / a + 1 / b + 1 / c = -2 … (2)
abc = 3 … (3)
Умножая (2) и (3),
abc (1 / a + 1 / b + 1 / c) = (3) (- 2)
bc + ca + ab = −6
Используя формулу a ² + b ² + c ² ,
a ² + b ² + c ² = (a + b + c) ² — 2 (ab + bc + ca)
a ² + b ² + c ² = (-3) ² — 2 (-6) = 9 + 12 = 21

Ответ: a ² + b ² + c ² = 21.

Пример 3: Найдите значение a ² + b ² + c ² , если a + b + c = 20 и ab + bc + ca = 100.

Решение:

Найти: a ² + b ² + c ²
При этом:
а + б + с = 20
ab + bc + ca = 100
Используя формулу a ² + b ² + c ² ,
a ² + b ² + c ² = (a + b + c) ² — 2 (ab + bc + ca)
a ² + b ² + c ² = (20) ² — 2 (100) = 400-200 = 200

Ответ: a ² + b ² + c ² = 200.2 Формула в алгебре?

Формула a ² + b ² + c ² является одним из важных алгебраических тождеств. Он читается как квадрат плюс b квадратов плюс c квадратов. Его формула a ² + b ² + c ² выражается как ² + b ² + c ² = (a + b + c) ² — 2 (ab + bc + Ca).

Как упростить числа с помощью формулы a

Давайте разберемся с использованием формулы a ² + b ² + c ² с помощью следующего примера.
Пример: Найдите значение (2 ² + 5 ² + 3 ² ) по формуле a ² + b ² + c ² .
Найти: (2 ² + 5 ² + 3 ² )
Предположим, что a = 2, b = 5 и c = 3.
Мы подставим их в формулу (a ² + b ² + c ² ).
a ² + b ² + c ² = (a + b + c) ² — 2 (ab + bc + ca)
= (2 + 5 + 3) ² — 2 (2 × 5 + 5 × 3 + 3 × 2)
= 100 — 62 = 38
Ответ: (2 ² + 5 ² + 3 ² ) = 38

Как использовать формулу (a

Следующие шаги выполняются при использовании формулы ( ² + b ² + c ² ).2 как индивидуальная сила или нет.

Упрощение алгебраических выражений

Распределительная собственность

Свойства действительных чисел важны в нашем изучении алгебры, потому что переменная — это просто буква, представляющая действительное число.В частности, свойство распределения дает любые действительные числа a , b и c , a (b + c) = ab + ac или (b + c) a = ba + ca. утверждает, что для любых действительных чисел a , b и c ,

Это свойство применяется при упрощении алгебраических выражений. Чтобы продемонстрировать, как это используется, мы упростим 2 (5−3) двумя способами и получим тот же правильный результат.

Конечно, если содержание круглых скобок можно упростить, сделайте это в первую очередь.С другой стороны, если содержание круглых скобок не может быть упрощено, умножьте каждый член в круглых скобках на множитель вне скобок, используя свойство распределения. Применение дистрибутивного свойства позволяет умножать и убирать круглые скобки.

Пример 1: Упростить: 5 (7y + 2).

Решение: Умножьте 5 раз каждый член в круглых скобках.

Ответ: 35лет + 10

Пример 2: Упростить: −3 (2×2 + 5x + 1).

Решение: Умножьте −3 раза каждый из коэффициентов членов в круглых скобках.

Ответ: −6×2−15x − 3

Пример 3: Упростить: 5 (−2a + 5b) −2c.

Решение: Примените свойство распределения, умножив на 5 только термины, сгруппированные в круглых скобках.

Ответ: −10a + 25b − 2c

Поскольку умножение коммутативно, мы также можем записать свойство распределения следующим образом: (b + c) a = ba + ca.

Пример 4: Упростить: (3x − 4y + 1) ⋅3.

Решение: Умножьте каждый член в скобках на 3.

Ответ: 9x − 12y + 3

Деление в алгебре часто обозначается чертой дроби, а не символом (÷). А иногда бывает полезно переписать выражения с делением на продукты:

Переписывание алгебраических выражений как продуктов позволяет нам применить свойство распределенности.

Пример 5: Разделить: 25×2−5x + 105.

Решение: Сначала обработайте это как 15-кратное выражение в числителе, а затем распределите.

Альтернативное решение: Представьте 5 как общий знаменатель и разделите каждый член в числителе на 5:

Ответ: 5×2 − x + 2

Мы обсудим разделение алгебраических выражений более подробно по мере прохождения курса.

Попробуй! Упростить: 13 (−9x + 27y − 3).

Ответ: −3x + 9y − 1

Объединение одинаковых терминов

Термины с одинаковыми переменными частями называются как термины. Если алгебраическое выражение содержит похожие термины, примените свойство распределения следующим образом:

Другими словами, если переменные части терминов в точности совпадают с , то мы можем складывать или вычитать коэффициенты, чтобы получить коэффициент одного члена с той же переменной частью.Этот процесс называется объединением одинаковых терминов. Добавление или вычитание одинаковых терминов в алгебраическом выражении для получения одного члена с той же самой переменной частью. Например,

Обратите внимание, что переменные множители и их показатели не меняются. Комбинирование похожих терминов таким образом, чтобы выражение не содержало других похожих терминов, называется упрощением выражения. Процесс объединения похожих терминов до тех пор, пока выражение не перестанет содержать похожие термины.. Используйте эту идею, чтобы упростить алгебраические выражения с помощью нескольких одинаковых терминов.

Пример 6: Упростить: 3a + 2b − 4a + 9b.

Решение: Определите похожие термины и объедините их.

Ответ: −a + 11b

В предыдущем примере перестановка терминов обычно выполняется мысленно и не отображается в представлении решения.

Пример 7: Упростить: x2 + 3x + 2 + 4×2−5x − 7.

Решение: Найдите похожие термины и сложите соответствующие коэффициенты.

Ответ: 5×2−2x − 5

Пример 8: Упростить: 5x2y − 3xy2 + 4x2y − 2xy2.

Решение: Не забудьте оставить переменные множители и их показатели неизменными в итоговом комбинированном члене.

Ответ: 9x2y − 5xy2

Пример 9: Упростить: 12a − 13b + 34a + b.

Решение: Чтобы сложить дробные коэффициенты, используйте эквивалентные коэффициенты с общими знаменателями для каждого подобного члена.

Ответ: 54a + 23b

Пример 10: Упростить: −12x (x + y) 3 + 26x (x + y) 3.

Решение: Считайте, что переменная часть равна x (x + y) 3. Тогда в этом выражении есть два одинаковых члена с коэффициентами −12 и 26.

Ответ: 14x (x + y) 3

Попробуй! Упростим: −7x + 8y − 2x − 3y.

Ответ: −9x + 5y

Распределительная собственность и подобные термины

При упрощении нам часто придется комбинировать одинаковые термины после применения свойства распределения. Этот шаг соответствует порядку операций: умножение перед сложением.

Пример 11: Упростить: 2 (3a − b) −7 (−2a + 3b).

Решение: Распределите 2 и −7, а затем объедините одинаковые члены.

Ответ: 20a − 23b

В приведенном выше примере важно отметить, что вы можете убрать скобки и собрать похожие термины, потому что вы умножаете вторую величину на −7, а не только на 7. Чтобы правильно применить свойство распределения, представьте это как добавление — В 7 раз больше заданного количества, 2 (3a − b) + (- 7) (- 2a + 3b).

Попробуй! Упростить: −5 (2x − 3) + 7x.

Ответ: −3x + 15

Часто мы встречаем алгебраические выражения вроде + (a + b) или — (a + b).Как мы видели, коэффициенты фактически подразумеваются как +1 и -1, соответственно, и поэтому свойство распределения применяется с использованием +1 или -1 в качестве множителя. Умножьте каждый член в скобках на следующие множители:

Это приводит к двум полезным свойствам:

Пример 12: Упростить: 5x — (- 2×2 + 3x − 1).

Решение: Умножьте каждый член в круглых скобках на -1, а затем объедините похожие члены.

Ответ: 2×2 + 2x + 1

При распределении отрицательного числа все знаки в круглых скобках изменятся. Обратите внимание, что 5x в приведенном выше примере — это отдельный термин; следовательно, свойство распределения на него не распространяется.

Пример 13: Упростить: 5−2 (x2−4x − 3).

Решение: Порядок операций требует умножения перед вычитанием.Следовательно, распределите −2, а затем объедините постоянные члены. Вычитание 5–2 сначала приводит к неверному результату, как показано ниже:

Ответ: −2 x ² + 8 x + 11

Осторожно

Стоит повторить, что вы должны соблюдать порядок операций : умножение и деление перед сложением и вычитанием!

Попробуй! Упростить: 8−3 (−x2 + 2x − 7).

Ответ: 3×2−6x + 29

Пример 14: Вычтем 3x − 2 из удвоенного количества −4×2 + 2x − 8.

Решение: Сначала сгруппируйте каждое выражение и обработайте каждое как количество:

Затем определите ключевые слова и переведите их в математическое выражение.

Наконец, упростим полученное выражение.

Ответ: −8×2 + x − 14

Основные выводы

• Свойства действительных чисел применимы к алгебраическим выражениям, потому что переменные — это просто представления неизвестных действительных чисел.
• Объединяйте одинаковые термины или термины с одной и той же переменной частью, чтобы упростить выражения.
• Используйте свойство распределенности при умножении сгруппированных алгебраических выражений: a (b + c) = ab + ac.
• Лучше всего применять свойство распределения только тогда, когда выражение внутри группировки полностью упрощено.
• После применения свойства распределения удалите скобки, а затем объедините любые похожие термины.
• При упрощении всегда используйте порядок операций.

Тематические упражнения

Часть A: Распределительная собственность

Умножить.

1. 3 (3x − 2)

2. 12 (−5y + 1)

3. −2 (х + 1)

4. 5 (а-б)

5. 58 (8x − 16)

6. −35 (10x − 5)

7.(2x + 3) ⋅2

8. (5x − 1) ⋅5

9. (−x + 7) (- 3)

10. (−8x + 1) (- 2)

11. — (2a − 3b)

12. — (х − 1)

13. 13 (2x + 5)

14. −34 (y − 2)

15. −3 (2a + 5b − c)

16. — (2y2−5y + 7)

17. 5 (y2−6y − 9)

18. −6 (5×2 + 2x − 1)

19. 7×2− (3x − 11)

20.- (2a − 3b) + c

21. 3 (7×2−2x) −3

22. 12 (4a2−6a + 4)

23. −13 (9y2−3y + 27)

24. (5×2−7x + 9) (- 5)

25. 6 (13×2−16x + 12)

26. −2 (3×3−2×2 + x − 3)

27. 20x + 30y − 10z10

28. −4a + 20b − 8c4

29. 3×2−9x + 81−3

30. −15y2 + 20y − 55

Переведите следующие предложения в алгебраические выражения, а затем упростите.

31. Упростим дважды выражение 25×2−9.

32. Упростим выражение, противоположное выражению 6×2 + 5x − 1.

33. Упростим произведение 5 и x2−8.

34. Упростим произведение −3 и −2×2 + x − 8.

Часть B: Объединение одинаковых терминов

Упростить.

35. 2х − 3х

36. −2a + 5a − 12a

37.10лет − 30−15лет

38. 13x + 512x

39. −14x + 45 + 38x

40. 2x − 4x + 7x − x

41. −3y − 2y + 10y − 4y

42. 5x − 7x + 8y + 2y

43. −8α + 2β − 5α − 6β

44. −6α + 7β − 2α + β

45. 3x + 5−2y + 7−5x + 3y

46. –y + 8x − 3 + 14x + 1 − y

47. 4xy − 6 + 2xy + 8

48. −12ab − 3 + 4ab − 20

49.13x − 25y + 23x − 35y

50. 38a − 27b − 14a + 314b

51. −4×2−3xy + 7 + 4×2−5xy − 3

52. x2 + y2−2xy − x2 + 5xy − y2

53. x2 − y2 + 2×2−3y

54. 12×2−23y2−18×2 + 15y2

55. 316a2−45 + 14a2−14

56. 15y2−34 + 710y2−12

57. 6x2y − 3xy2 + 2x2y − 5xy2

58. 12x2y2 + 3xy − 13x2y2 + 10xy

59. −ab2 + a2b − 2ab2 + 5a2b

60.m2n2 − mn + mn − 3m2n + 4m2n2

61. 2 (х + у) 2 + 3 (х + у) 2

62,15 (x + 2) 3−23 (x + 2) 3

63. −3x (x2−1) + 5x (x2−1)

64,5 (x − 3) −8 (x − 3)

65. −14 (2x + 7) +6 (2x + 7)

66. 4xy (x + 2) 2−9xy (x + 2) 2 + xy (x + 2) 2

Часть C: Смешанная практика

Упростить.

67,5 (2x − 3) +7

68. −2 (4y + 2) −3y

69.5x − 2 (4x − 5)

70. 3- (2х + 7)

71. 2x− (3x − 4y − 1)

72. (10y − 8) — (40x + 20y − 7)

73. 12y − 34x− (23y − 15x)

74. 15a − 34b + 315a − 12b

75,23 (x − y) + x − 2y

76. −13 (6x − 1) +12 (4y − 1) — (- 2x + 2y − 16)

77. (2×2−7x + 1) + (x2 + 7x − 5)

78. 6 (−2×2 + 3x − 1) + 10×2−5x

79. — (x2−3x + 8) + x2−12

80.2 (3a − 4b) +4 (−2a + 3b)

81. −7 (10x − 7y) −6 (8x + 4y)

82,10 (6x − 9) — (80x − 35)

83. 10−5 (x2−3x − 1)

84. 4 + 6 (y2−9)

85. 34x− (12×2 + 23x − 75)

86. −73×2 + (- 16×2 + 7x − 1)

87. (2y2−3y + 1) — (5y2 + 10y − 7)

88. (−10a2 − b2 + c) + (12a2 + b2−4c)

89. −4 (2×2 + 3x − 2) +5 (x2−4x − 1)

90. 2 (3×2−7x + 1) −3 (x2 + 5x − 1)

91.x2y + 3xy2− (2x2y − xy2)

92. 3 (x2y2−12xy) — (7x2y2−20xy + 18)

93. 3−5 (ab − 3) +2 (ba − 4)

94. −9−2 (xy + 7) — (yx − 1)

95. −5 (4α − 2β + 1) +10 (α − 3β + 2)

96,12 (100α2−50αβ + 2β2) −15 (50α2 + 10αβ − 5β2)

Переведите следующие предложения в алгебраические выражения, а затем упростите.

97. В чем разница между 3x − 4 и −2x + 5?

98.Вычтем 2x − 3 из 5x + 7.

99. Вычтем 4x + 3 из удвоенного количества x − 2.

100. Вычтем трижды величину −x + 8 из 10x − 9.

Часть D. Темы дискуссионной доски

101. Нужно ли нам распределительное свойство для деления, (a + b) ÷ c? Объяснять.

102. Нужно ли нам отдельное распределительное свойство для трех членов, a (b + c + d)? Объяснять.

103. Объясните, как вычесть одно выражение из другого.Приведите несколько примеров и продемонстрируйте важность порядка, в котором выполняется вычитание.

104. Учитывая алгебраическое выражение 8−5 (3x + 4), объясните, почему вычитание 8−5 не является первым шагом.

105. Можно ли применить свойство распределенности к выражению 5 (abc)? Объясните, почему или почему нет, и приведите несколько примеров.

106. Как проверить, правильно ли вы упростили выражение? Приведите несколько примеров.

ответы

1: 9x − 6

3: −2x − 2

5: 5x − 10

7: 4x + 6

9: 3x − 21

11: −2a + 3b

13: 23x + 53

15: −6a − 15b + 3c

17: 5y2−30y − 45

19: 7×2−3x + 11

21: 21×2−6x − 3

23: −3y2 + y − 9

25: 2×2 − x + 3

27: 2x + 3y − z

29: −x2 + 3x − 27

31: 50×2−18

33: 5×2-40

35: −x

37: −5y − 30

39: 18x + 45

41: y

43: −13α − 4β

45: −2x + y + 12

47: 6xy + 2

49: х-у

51: −8xy + 4

53: 3×2 − y2−3y

55: 716a2−2120

57: 8x2y − 8xy2

59: 6a2b − 3ab2

61: 5 (х + у) 2

63: 2x (x2−1)

65: −8 (2x + 7)

67: 10x − 8

69: −3x + 10

71: −x + 4y + 1

73: −1120x − 16y

75: 53x − 83y

77: 3×2−4

79: 3x − 20

81: −118x + 25y

83: −5×2 + 15x + 15

85: −12×2 + 112x + 75

87: −3y2−13y + 8

89: −3×2−32x + 3

91: −x2y + 4xy2

93: −3ab + 10

95: −10α − 20β + 15

97: 5x − 9

99: −2x − 7